Как связать площадь и периметр

Обновлено: 26.04.2024

Для окружностей, квадратов, равносторонних треугольников и других многоугольников отношение периметра к квадратному корню их охватываемой площади

не зависит от размера многоугольника. Отношение одинаково для каждого семейства замкнутых кривых одинаковой формы. Для окружностей, квадратов и равносторонних треугольников это отношение равно соответственно и 6/31/4.

Для семейства подобных островов различных размеров отношение длины нефрактальной береговой линии любого острова к квадратному корню из его площади не зависит от размера острова. Однако, если береговая линия фрактальна, то ее длина зависит от длины эталона 5, с помощью которого меряется длина и при Напротив, площадь острова измеряемая с помощью его покрытия квадратами площадью 52, остается конечной при 5 0. Как показал Мандельброт, для фрактальных кривых расходящееся отношение следует заменить в каждом случае следующей модификацией:

Здесь фрактальная размерность береговых линий островов, имеющих подобные очертания. Отношение не зависит от размера острова, но оно зависит от выбора эталона длины.

Соотношение периметра и площади, выраженное равенством (12.1), вытекает из определения фрактальной размерности содержащегося в выражениях (2.3) и (2.4). Это можно усмотреть из сравнения двух подобных островов разной площади, показанных на рис. 12.1. Площадь и длина береговой линии каждого из островов измеряются с помощью эталона, длина которого зависит от площади данного острова. Площадь острова равна когда она измеряется эталоном фиксированной длины 5, а параметр -некоторое произвольно малое число, скажем, 0,0001. Длина береговой линии острова равна периметру многоугольника, состоящего из отрезков длины , т. е. в этом приближении

Рис. 12.1. Два подобных острова, обмеряемые с помощью эталона, длина которого зависит от площади острова.

Теперь можно сделать важное замечание: для подобных островов не зависит от размера острова. Однако из соотношения (2.3) следует, что длина береговой линии острова равна Таким образом, мы приходим к равенству

Выразим 5 через

и получим, что отношение

не зависит от размера острова. Однако это отношение зависит от длины 8 используемого эталона и принятого значения произвольного множителя Поэтому, несмотря на то что связано с формой островов, эта величина включает также произвольные множители, и мы по-прежнему не имеем общей характеристики формы острова. Можно заключить, что острова, очертания которых подобны, удовлетворяют соотношению периметра и площади

полученному Мандельбротом. Это соотношение удовлетворяется для любого эталона длины 8, достаточно малого, чтобы удовлетворительно обмерять самый малый из островов. Коэффициент пропорциональности зависит от произвольного параметра Соотношение (12.2)

лежит в основе практического определения фрактальной размерности в нескольких интересных случаях, обсуждаемых в последующих разделах.

Чтобы привести пример соотношения периметра и площади, рассмотрим остров, ограниченный квадратичной кривой Кох (см. рис. 2.9). Первичным элементом кривой является квадрат со стороной а. Генератор кривой при замене каждой ее стороны добавляет малый «полуостров» и вырезает участок «побережья» такого же размера. Поэтому при повторных преобразованиях кривой не меняется охватываемая ею площадь Периметр кривой порядка, равен длине береговой линии, если она измеряется с помощью эталона длины Поэтому порядок кривой можно выразить через ее площадь, и мы получаем Здесь есть фрактальная размерность береговой линии острова, ограниченного квадратичной кривой Кох. Итак, такие острова удовлетворяют соотношению периметра и площади вида (12.2) с коэффициентом пропорциональности

Другой пример связан с триадной кривой Кох. Здесь под островом будем понимать участок плоскости, заключенный между начальным элементом, т. е. отрезком длины а, и предельной кривой Кох (см. рис. 2.8). Охватываемая площадь равна а полная длина береговой линии порядка равна если используется эталон длины Это приводит к равенству

Как видим, если пренебречь первым членом в правой части, то получится соотношение периметра и площади (12.2). Отброшенный член представляет собой нефрактальный прямой участок границы островов. Этот пример показывает, что соотношение периметра и площади (12.2) может быть справедливо только в пределе малой длины эталона 5, когда длина фрактальной части береговой линии преобладает над вкладом любой регулярной части береговой линии. Нетрудно построить более сложные примеры, в которых разные участки берега имеют разные фрактальные размерности. В этом случае анализ показывает, что отношение периметра и площади определяется наибольшим значением фрактальной размерности.

Изучение зависимостей площадей и периметров в четырехугольниках

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

С понятием периметр и площадь я познакомилась в 3 классе. Э ти важные понятия необходимы человеку на протяжении всей его жизни. Деятельность строителей, инженеров, земледельцев и представителей других профессий немыслима без прочных знаний по этой теме.

Актуальность темы . Понятия «площади» и «периметра» необходимы человеку в окружающей жизни постоянно, например – сделать ремонт в доме или красиво оформить клумбу на даче. И то и другое понятие связывают стороны многоугольников. Знание зависимостей между этими величинами очень важно для современного человека.

Цель проекта: установить некоторые зависимости между площадью и периметром, увидеть их применение в практических ситуациях.

Задачи:повторить понятия по теме исследования, а именно: «площадь фигуры» и «периметр фигуры»; провести необходимые исследования и опыты; сделать выводы о зависимости площадей и периметров ; рассмотреть практическое применение полученных результатов.

Основнаячасть

Определение предмета исследования. Что нужно выяснить:

Как связаны периметры и площади прямоугольников?

Зависит ли площадь прямоугольника от его периметра?

Какой прямоугольник имеет наибольшую площадь при заданном периметре?

Если известен периметр прямоугольника, то нельзя ли однозначно установить его площадь?

Что можно сказать о зависимости площади квадрата от его периметра?

Проблема. Никаких зависимостей связывающих площади и периметры фигур мы пока не изучили.

Вот, самый простой пример, который задает проблему: «Есть два участка земли 80 м на 100 м и 50 м на 160 м. Вроде, площадь одинаковая – 8000 м 2 , а первый участок выгоднее купить, чем второй, забор то на 60 м короче строить». С точки зрения математики, все ясно, а вот логически – странно, периметр это замкнутая воображаемая нить, и то, что внутри нее не должно меняться, как ее не крути. Почему есть разница в периметрах? Так все-таки, есть ли какие-то зависимости, или площадь и периметр никак не зависят друг от друга?

Гипотеза. Предполагаем, что некоторые зависимости существуют. С изменением длины одной из сторон прямоугольника при заданном периметре изменится и площадь этого прямоугольника. Можно даже предположить, что если площадь больше, то периметр больше. Если у одной фигуры больше периметр, чем у второй, то её площадь больше, меньше или по-разному?

Периметр – величина, равная сумме длин всех сторон многоугольника.

Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости.

Свойства площадей нам тоже известны:

Равные фигуры имеют равные площади.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

За единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единичному отрезку.

Проверка гипотезы.

Исследования начнем с простой и хорошо знакомой нам фигуры – прямоугольника.

Сегодня мы расскажем, как вычислять площадь прямоугольника.

Различные формулы вычисления площади (а их действительно немало), изучают в 8 классе школы.

Что такое площадь прямоугольника

Но для начала давайте все-таки дадим основные определения:

Прямоугольник – это геометрическая фигура, относящаяся к категории четырехугольников. Ее отличительная особенность в том, что противоположные стороны лежат на параллельных прямых (то есть параллельны друг другу) и равны.

А частным случаем прямоугольника, если у него все стороны равны между собой, является квадрат.

Площадь любой геометрической фигуры, формально говоря, это ее размер. Другими словами, размер того пространства, которое находится внутри границ фигуры.

В отношении четырехугольников применимо еще понятие «квадратура». С его помощью показывали, сколько квадратов вместится внутрь фигуры.

Собственно, отсюда и пошло современное обозначение площадей, когда речь идет о габаритах помещения или какой-то территории. Мы часто слышим «столько-то квадратных метров (миллиметров, сантиметров, километров)» или просто «столько-то квадратов».

Для площади геометрических фигур действуют определенные правила:

Она не может быть отрицательной.
У равных фигур всегда равные площади.
Если две фигуры не пересекаются друг с другом, то их общая площадь равна сумме площадей фигур по отдельности.
Если одна фигура вписана в другую, то ее площадь всегда меньше, чем у второй.

Обычно фигуры, которые имеют равные площади, называют «равновеликими».

Как найти площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника вычисляется по очень простой формуле – надо лишь перемножить его стороны.

Возьмем, к примеру, такой прямоугольник:

Площадь геометрической фигуры обычно обозначается латинской буквой «S». И тогда формула для конкретного примера будет:

Например, если мы имеем прямоугольник со сторонами 2 и 3 сантиметра, то его площадь составит 2 * 3 = 6 сантиметров.

Но бывают случаи, когда неизвестны размеры сторон прямоугольника, а площадь вычислить все равно надо. Для этого существуют более сложные формулы.

Формула площади прямоугольника через периметр

Если известна длина только одной стороны, но известен еще и периметр прямоугольника.

В этом случае есть два варианта.

И тогда обратные расчеты выглядят вот так:

Площадь прямоугольника через диагональ

Известна одна сторона и длина диагонали.

Тут опять же есть два варианта. В первом случае вычисляем длину второй стороны, используя теорему Пифагора.

Второй вариант – опять же сразу прибегнуть к готовой формуле:

Если известны длина диагоналей и угол между ними.

В этом случае стоит воспользоваться вот такой формулой:

Вот и все, что нужно знать о вычислении площади прямоугольников.

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (1)

Смех смехом, но я встречал довольно много людей, которые не могли высчитать площадь прямоугольника! Причем люди эти были с высшим образованием, выпускники технического ВУЗа. Вот так люди замечательно учатся!

Попался на глаза курвиметр, и подумалось, можно ли измерением периметра сложной фигуры определить ее площадь? Если нитку 10см связать концы, то у фигуры будет постоянный периметр, а площадь при изменении формы будет постоянная? Вот есть квадрат 3х3 его периметр 12, площадь 9. А если взять прямоугольник 4х2, его периметр 12, площадь 8. При 5х1 периметр 12, площадь 5. То есть меняя форму замкнутой фигуры с постоянным периметром, меняется площадь?

Зависит от фигуры.
У круга такая связь есть и она постоянна:

А вот у ромба уже нет, при том же периметре 4а его площадь может варьироваться от 0 до a² в зависимости от угла.

А вы все-таки возьмите нитку 10см, свяжите концы и поэкспериментируйте наяву, а не мысленно и очень скоро. ОЧЕНЬ скоро вы найдете ответ на свой вопрос.

Чем больше периметр этой фигуры тем больше площадь приложения.
PS: Жалко нельзя с тобой практические занятия провести, для лучшей усвояемости материала.

Дед Оракул (64739) Tania, Я ж говорю, нужны практические занятия, для усвоения материала. Лекции не имеют нужного эффекта.

Вы всё правильно пишите.
При изменении формы замкнутой фигуры с постоянным периметром, меняется площадь.
Периметр это линейный размер (размерность 1, то есть например, метр), а площадь имеет размерность 2 (метр^2), поэтому однозначной связи между ними в принципе нет.
Можно показать, что при заданном периметре максимальную площадь имеет окружность.
Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна S=p*r
p - это полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

--- "Можно показать, что при заданном периметре максимальную площадь имеет окружность." - это из ответа предыдущего пользователя Tania.
На первый взгляд, это очень формально и ни о чем, но нет! На этом принципе устроены очень многие организмы, очень большая часть Природы, почти вся Природа. По сути, это значит, что круг имеет минимальную линию контура, а шар - минимальную площадь поверхности по отношению к прочим телам. Это нужно, чтобы, например, испарять минимум влаги. Или терять минимум энергии. Или минимально контактировать с окружающими. Почему капля шарообразна? Поверхностное натяжение? Гравитация? Но ведь шаровидная капля и испаряет меньше - "борьба за выживание" на неосознанном уровне? Череп человека не шарообразен, а приближается к кубу - значит, ему нужно испарять больше влаги. и т. д. Центростремительная природа большинства сил. А как бы выглядела Вселенная, где это не так? А как выглядят фигуры с минимальной площадью по отношению к собственному периметру.

Памятка по математике для начальной школы, которую можно использовать на этапах изучения нового материла, закрепления и повторения пройденного, при работе над ошибками, а так же при выполнении учащимися домашних заданий.

Вложение	Размер
pamyatka_-_ploshchad_i_perimetr_pryamougolnika.doc	38.5 КБ

Предварительный просмотр:

Периметр (Р) – это сумма длин всех сторон многоугольника.

Периметр измеряется в см, дм, м, км .

Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Противоположные стороны прямоугольника равны.

Площадь (S) – это внутренняя часть какой-нибудь геометрической фигуры.

Площадь измеряется в см 2 , дм 2 , м 2 , км 2 .

Периметр (Р) – это сумма длин всех сторон многоугольника.

Периметр измеряется в см, дм, м, км .

Площадь (S) – это внутренняя часть какой-нибудь геометрической фигуры.

Площадь измеряется в см 2 , дм 2 , м 2 , км 2 .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Вычисление периметра прямоугольника.Математика.2класс

Красочное, доступное обЪяснение нахождения периметра прямоугольника путем логически правильного выбора действий.

Площадь и периметр прямоугольника. Решение задач.

Совершенствование умения вычислять площадь и периметр прямоугольника в процессе решения задач.

Математика 2 класс "Периметр прямоугольника"

Математика 2 класс "Периметр прямоугольника" Школа России.

Периметр прямоугольника. Вычисление периметра. 2 класс.УМК "Начальная школа 21в."

Познакомить с математичексим понятием " периметр", его обозначением и способами нахождения.

Периметр прямоугольника. Вычисление периметра

Технологическая карта урока математики во 2 классе по ФГОС. Тема "Периметр прямоугольника. Вычисление периметра".

Технологическая карта урока математики во 2 классе "Маленькое путешествие в большой экзамен. Периметр прямоугольника. Вычисление периметра".

Технололическая карта урока математики во 2 классе "Маленькое путешествие в большой экзамен. Периметр прямоугольника. Вычисление периметра". Данный урок был проведен в рамках районного.

Самостоятельная работа по теме "Прямоугольник. Периметр прямоугольника" 2 класс

Самостоятельная работа по теме "Прямоугольник. Периметр прямоугольника" 2 класс.

Читайте также: